理想的数学概念-理想信念的作用

一个特定偏序集合(P,≤)的非空子集 I 是一个理想，如果下列条件成立:

对于所有 I 中的 x，y ≤ x 蕴涵 y 在 I 中。(I 是下闭集合)

对于所有 I 中的 x, y，有某个 I 中的元素 z，使得 x ≤ z 并且 y ≤ z。（I 是有向集合）

尽管这是定义任意偏序集合的理想的最一般的方式，它最初只为格定义的。在这种情况下，给出下列等价定义: 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当它是闭合在有限的并(上确界)下的下闭集合，就是说，对于所有 I 中的 x, y，我们找到 xy 也在 I 中。

理想的对偶概念，就是说通过反转所有的 ≤ 并且交换 为 获得的概念是滤子。术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。

一个理想或滤子被称为真理想或真滤子，如果它不等于整个集合 P。

包含一个给定元素 p 的最小理想是主理想而 p 被称为是这个情况下理想的主元素。主 p 的主理想 p 给出为 。