数学建模在医药卫生领域中的研究与应用

作者:蒋翔 李长雅 吴伟琦来源:中华励志网 2016-09-13

【论文摘要】 介绍数学模型及其重要性,讨论了数学建模的一般步骤,包括模型的准备、假设、建立、求解、检验、分析及其应用的全过程;并结合医药卫生领域中不允许缺货的存储模型、机械化传送系统的效率模型、流行病学以及肿瘤生长的数学模型等几个实际问题,探析了数学建模的技巧、分析了模型应用的局限性,对实际工作具有一定的指导意义和较好的借鉴作用。

【论文关键词】 数学建模 创新思维 医药卫生 应用

Abstract This paper introduced the mathematical modeling and its importance, discussed the general steps of this modeling ,including its preparation,Supposition, establishment,solution,test,analysis and the whole applying process. Combining with the storage modeling which not allow to be out of stock in medicine 、the efficiency modeling of mechanization transmission system、the mathematical modeling in epidemiology and tumor growth, it also dicussed the skill of establishing mathematical modeling , analysed the limitations of this modeling in application. This has a good guide and reference to the practical work.

Key words mathematical modeling ; innovative thinking; medicine ; application

1 引言

数学是一切科学和技术的基础,是研究现实世界数量关系、空间形式的科学。随着社会的发展,电子计算机的出现和不断完善,数学不但运用于自然科学各学科、各领域,而且渗透到经济、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。

众所周知,利用数学解决实际问题,首先要建立数学模型,然后才能在该模型的基础上对实际问题进行分析、计算和研究。

数学建模(Mathematical Modeling)活动是讨论建立数学模型和解决实际问题的全过程,是一种数学思维方式。

2 数学建模的过程

数学建模的过程是通过对现实问题的简化、假设、抽象,提炼出数学模型;然后运用数学方法和计算机工具等,得到数学上的解答;再把它反馈到现实问题,给出解释、分析,并进行检验。若检验结果符合实际或基本符合,就可以用来指导实践;否则再假设、再抽象、再修改、再求解、再应用。其过程如图1所示。

构造数学模型不是一件容易的事,其建模过程和技巧具体主要包括以下步骤:

2.1 模型准备

在建模前要了解实际问题的背景,明确建模的目的和要求;深入调研,去粗取精,去伪存真,找出主要矛盾;并按要求收集必要的数据。

2.2 模型假设

在明确目的、掌握资料的基础上,抓住复杂问题的主要矛盾,舍去一些次要因素;对实际问题作出几个适当的假设,使复杂的实际问题得到必要的简化。

2.3 建立模型

首先根据主要矛盾确定主要变量;然后利用适当的数学工具刻划变量间的关系,从而形成数学模型。模型要尽量简化、不必复杂,以能获得实际问题的满意解为标准。

2.4 模型检验

建模后要对模型进行分析,用各种方法(主要是数学方法,包括解方程、逻辑推理、稳定性讨论等;同时利用计算机技术、计算技巧)求得数学结果;将所求得的答案返回到实际问题中去,检验其合理性;并反复修改模型的有关内容,使其更切合实际,从而更具有实用性。

2.5 模型应用

用建立的模型分析、解释已有的现象,并预测未来的发展趋势,以便给人们的决策提供参考。

总之,数学建模是一种创造性劳动,成功的模型往往是科学与艺术的结晶。一个“好”的数学模型应该具有以下特点:①考虑全面,抓住本质;②新颖独特,大胆创新;③善于检验,结果合理。而模型检验一般包括下列几个方面:①稳定性和敏感性分析;②统计检验和误差分析;③新旧模型的比较;④实际可行性检验。

因此,数学建模的分析方法和操作途径不可能用一些条条框框规定得十分死板,下面通过实例探析建模过程与技巧。

3 模型Ⅰ:药厂不允许缺货的存储模型

3.1 模型准备(背景介绍)

企业或商品流动部门需要存储原料或货物。若存量过多(供过于求),会导致资金占用过多、存储费用过高等问题;但存量过少(供不应求),会导致订货批次增多而增加订货费用,有时造成的缺货也会发生经营的损失。因此,如何选择库存量、订货量和订货时间是一个需要研究的现实问题。

实例1:某药厂平均每天需要某种原料0.2吨,已知每吨原料每天的保管费为0.75元,每次的订货费用为75元。如果药厂不允许缺货并且每次订货均可立即补充,请为该药厂做出最佳决策:即多长时间订一次货,每次订多少货才能使每天所花费的总费用最少。

3.2 模型假设(分析问题)

在求解时需要考虑的费用问题有以下两项:

① 进货费用:包括固定费用(每次订货费用c1 元)和可变费用(货物的成本费用 元/吨,与订货数量有关)。

② 单位时间内的存储费用:c2 元/吨。

由于题设“药厂不允许缺货并且每次订货均可立即补充”,即缺货费用为零,因此,总费用 T=T1+T2,其中T1 为进货费用,T2 为存储费用。

3.3 模型建立

设每隔 t天订一次货,每次订货数量为x ,每次订货费为c1 ,每天(单位时间)每单位货物存储费为c2 ,每天内对货物的需求量为r 。

经分析,在上述假定条件下有x=rt ,每次的进货费为:c1+cx=c1+crt ,则平均每天的进货费为:T1=c1t+cr ;

又每天的平均库存量为x2 ,则每天的平均库存费为T2=c2·x2=12c2rt ;

则每天总费用为:T(t)=c1t+rc+c2rt2

3.4 模型求解

制定最优存储方案,可归结为确定订货周期t ,使T(t) 达到最小值。根据“微分法”:

因 dT(t)dt=-c1t+12c2r,令 dT(t)dt=0,

得驻点: t=2c1rc2,(1)

而 T″2c1rc2=c32r32c1>0,

故t=2c1rc2 时,T(t)取得最小值;代入x=rt ,求得每批最佳订货量为:

x*=r2c1rc2=2c1rc2 (2)

式(2)是经济学中著名的经济订货批量公式,它表明:订货费越高,需求量越大,则每次订货批量应越大;存储费越高,则每次订货批量应越小。这种分析与实际意义相符合。

3.5 模型应用

在(1)、(2)式中,代入实例1中的已知数值: c1=75, c2=0.75, r=0.2,得最佳订货时间间隔和每批最佳订货量分别为:

t0=2×750.75×0.2=31.623 (天);

x0=6.3246 (吨)。

实证研究表明,存储模型能提供科学、合理、经济的管理思路,从而有效地提高管理效益。

4 模型Ⅱ:机械化传送系统的效率模型

实例2:假设在某药厂机械化生产车间里,排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种药品;工作台上方一条设置若干钩子的传送带在运转,工人们将药品挂在经过他上方的钩子上带走;当生产进入稳定状态后,每个工人生产出一件药品所需时间是不变的,而他要挂药品的时刻却是随机的。衡量这种传送系统的效率可以看它能否及时把工人们生产的药品带走。显然,在工人数目不变的情况下传送带速度越快,带上钩子越多,效率会越高。要求构造一个衡量传送系统效率的指标,并且在一些简化假设下建立一个模型来描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。

4.1 模型分析

为了用传送带及时带走的药品数量来表示传送系统的效率,在工人们生产周期(即生产一件药品的时间)相同的情况下,需要假设工人在生产出一件药品后,要么恰好有空钩子经过他的工作台,使他可以将药品挂上带走;要么没有空钩子经过,迫使他将药品放下并立即投入下一件药品的生产,以保持整个系统周期性地运转。

工人们的生产周期虽然相同,但是由于各种随机因素的干扰,经过相当长时间后,他们生产完一件药品的时刻就会不一样,可以认为是随机的,并且在一个生产周期内任一时刻的可能性是一样的。

由上述分析可知,传送系统长期运转的效率等价于一周期的效率,而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的药品数与一周期内生产的全部药品数之比来描述。

为了将问题简单化到用简单的概率方法来解决,我们做出如下的假设。

4.2 模型假设

① 有n个工人,其生产是相互独立的;生产周期是常数;n个工作台均匀排列。

② 生产已进入稳定状态,即每个工人生产出一件药品的时刻在-周期内是等可能的。

③ 在一周期内有m个均匀排列的钩子通过每一工作台上方,到达第一个工作台上方的钩子都是空的。

④ 每个工人在任何时刻都能且只能触到一只钩子。于是在他生产出一件药品的瞬间,若他能触到空钩子,则可将药品挂在钩子上带走;否则他只能将这件药品放在地上,而将它永远退出这个传送系统。

4.3 模型建立与求解

将传送系统效率定义为一周期内带走的药品数(设为s )与生产的全部药品数(显然为 n)之比,记作D=sn 。于是,只需求出s 就行了。

若从工人角度考虑,每个工人能将自己的药品挂上钩子的概率显然与工人所在的位置有关,这样就使问题复杂化了。若从钩子的角度考虑,在稳定状态下,钩子没有次序,处于同等的地位,若能对一周期内的m只钩子求出每只非空的概率p ,则 s=mp 。

求解p 的步骤如下(均对一周期而言):

任一钩子被一名工人触到的概率为1m ;

任一钩子不被一名工人触到的概率为 1-1m ;

根据工人生产的独立性,任一只钩子不被所有n个工人挂上药品的概率,即任一钩子为空钩的概率为(1-1m) ;

从而任一钩子为非空钩的概率为:

p=1-(1-1m)n

故传送系统效率指标为:

D=mpn=mn[1-(1-1m)n](3)

4.4 模型简化

在钩子数m 远大于工人数n 时,即nm 较小的情况下,可经简化,将多项式(1-1m)n 展开后只取前3项,则有:

D≈mn[1-(1-nm+n(n-1)2m2)]=1-n-12m(4)

再假定n永大于1,则此模型可简化为:

D=1-E, E≈n2m(5)

4.5 模型应用

当工人数 =10人,钩子数 =40个时,由简化模型(5)式给出的结果为 D=87.5%;而由(3)式得到的精确结果为D=89.4% 。由此可见,数学模型具有的适用性和局限性。

5 模型Ⅲ:无移除的简单流行病学模型

随着生命科学的发展,数学在医药学中的应用,主要是采用各种数学方法建立医药学数学模型,即建立表示医药学问题中各变量之间关系的数学方程(常见有微分方程)。

实例3:假定感染通过一个群体内成员之间的接触而传播,感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除,则所有的易感者最终都将转变为感染者。显然,这种假定对实际情况而言是太简化了,但可近似地适用于下述情况:疾病有高度的传染力,但尚未严重到发生死亡或需要隔离的程度,例如某种上呼吸道感染。也可近似地表示这样一种疾病的流行:从流行中移除的时间一般要比感染传遍群体的时间更长。

5.1 模型假设

为了建立这类流行病的数学模型,对群体及其流行病学状态作如下假设:

① 在时间t 时的易感人数和感染人数分别为 S和I ;

② 群体是封闭性的,总人数为N ,在这 N个人中开始时只有一个感染者;

③ 该群体中各成员之间接触是均匀的,易感者转为感染者的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比。

5.2 模型建立与求解

根据上述假设,可建立如下数学模型:

dSdt=-βSI ,(6)

S+I =N,(7)

初始条件是I(0)=1 ,比例系数β 称为感染率。

将式(7)代入(6)式,得:

dSdt=-βS(N-S)(8)

分离变量后再两边积分,得:

1NlnSN-S=-βt+C(9)

其中C 为积分常数。将初始条件I(0)=1 ,代入上式(9),可得C=ln(N-1)N ,代入(9)式 即得:

1NlnSN-S=-βt+ln(N-1)N

整理后得易感人数随时间变化的动态关系式:

S=N(N-1)(N-1)+eβNt

6 模型Ⅳ:肿瘤生长的数学模型

实例4(模型假设):设V 表示在时刻t 肿瘤的大小(体积、重量、细胞数等),由经验知,肿瘤在时刻t 增长的速率与当时的大小V 值成正比,比例系数为k ;但比例系数k 不是常数,它随时间t 减小,其减小速率与当时k 的大小成正比,此比例系数(α≥0 )为常数。

6.1 模型建立

经分析,并根据已知经验和微分方程知识,可建立如下数学模型:dVdt=kV (10)

dkdt=-αk (11)

6.2 模型求解:

现分两种情况讨论上述模型的解:

①如果α=0 ,这时dkdt=0 ,故k 为常数,记为A 。设t=0 时,V=V0 ,则由(10)式,得:

V=V0eAt(12)

由此可知,在这种情况下,肿瘤完全呈指数生长,生长速率常数为A。

②如果α>0 ,这时由(11)式,得

k=Ae-αt ,其中,A 为t=0 时的 k值。

将上式代入方程(10),有

dVdt=AVe-αt

分离变量后积分,得

ln V=-Aαe-αt+lnC ( C为任意常数)

设t=0 时,V=V0 ,于是有C=V0eAα ,从而有:

V=V0eAα(1-eαt)(13)

这就是描述肿瘤生长的数学关系式,称为高姆帕茨(Gompertz)函数。

6.3 模型应用

现在利用高姆帕茨函数来研究肿瘤生长情况:

① 当αt→0 时,由于e-αt ≈1-αt ,于是式(13)成为:V=V0eAt

可见,当α 为不等于0的有限值时,只要t 足够小,即肿瘤生长的初期阶段,肿瘤是呈指数生长的。

② 当t→+∞ 时,e-αt→0 ,由式(13)得V 的最大渐近值为:Vmax=V0eAα

这就是肿瘤生长的理论上限。容易知道,dVdt>0 ,故V单调递增,从而当t→+∞ 时,V→Vmax 。

③ 通常把肿瘤体积增大一倍所需的时间称为肿瘤的倍增时间,记为td 。不难算出,在式(12)所示指数生长的情况下,td=ln2A 为常数,而在按高姆帕茨函数生长的情况下,则有td=1αln (AA-αeαtln2)

显然,td 不是常数,它随t 的增大而增大。

7 结束语

通过以上实例可见,数学建模为医药卫生工作提供了一定的指导意义,有较好的借鉴作用。但实证研究表明,数学建模在实际应用中还有较大的局限性,有待不断完善。

7.1 合理应用假设,巧解实际问题

数学建模的核心在"建"上,而数学模型不是对现实系统的简单模拟,而是对现实对象进行分析、归纳、升华的结果,是用数学语言来精确描述,通过演绎推理、分析、求解,深化对所研究的实际对象的认识。

7.2 熟悉电脑编程,完善数据处理

由于数学建模的问题一般来源于实际,数据多、计算量大,经常需要编写计算机程序或利用现成的软件包处理数据(如Mathematical,SAS等);因此,掌握计算方法和熟练电脑操作技能是建好数学模型的重要环节。

7.3 合理简化模型,注意模型检验

有的数学建模问题比较复杂,变量多、数学表达式复杂,计算机难以处理,简化模型必不可少。数学建模不同于求解纯数学问题,没有标准答案,模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律,是否合理只能根据实际情况来检验。计算机模拟在检验过程中大有用武之地,一般可以从模型的可行性、有效性、适用范围等方面进行合理性评价。

总之,数学建模是一种科学思维方法,更是一门艺术和技巧,需要转变理念和创新思维。目前尚没有一个具有普遍意义的建模方法和技巧,因此,我们要亲自参与实践,多体会多总结,融合建模艺术,勇于开拓创新,使数学建模为提高各种领域的管理效益作出应有的贡献。

【参考文献】

1 刘亚.数学模型在经济学中的应用.商场现代化.2008,(7):382.

2 姜启源.数学模型.第3版.北京:高等教育出版社,2003.

3 陈国华.数学建模与素质教育.数学的实践与认识,2003,33(2):110~113.

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