罗巴切夫斯基勇敢地指出了欧几里得平行公设的缺点，建立了自己的平行公设，并且提出了大胆的设想：“欧几里得几何并不是惟一可想象出的几何。”之后他又在《喀山大学学报》等刊物上发表论文，进一步对自己的新几何学进行了全面的、系统的叙述，先后得出了其他一系列前后一贯的命题。例如：由直线外的任何点向这条直线作垂线，垂线与平行于这条直线并通过已知点的直线组成的角不等于直角，且小于直角，这样的角叫做平行角，点离已知直线越远，平行角则偏离直角越大；三角形内角和小于两直角，并且当三角形面积越大时，内角和偏离两直角就越大；相似三角形不可能存在，对应角相等的三角形只能是全等三角形，等等。这一系列命题与我们所熟悉的欧几里得几何存在着本质上的差异，正是它们构成了罗巴切夫斯基新的几何学，这是第一种非欧几里得几何学。它是几何学中的一个重要分支，它的创立，打破了2000多年来欧几里得几何一统天下的局面，从根本上革新和拓宽了人们对几何学观念的认识，它首先提出了弯曲的空间，为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提，为几何学乃至整个数学及其应用开辟了崭新的途径，并对后来力学、物理学和哲学事业的发展起了巨大的推动作用。

　　最后需要指出的是，尽管罗巴切夫斯基几何学和欧几里得几何学存在着本质的区别，但它们之间仍然存在联系：欧几里得几何学存在于通常人们的认识范围之内，而罗巴切夫斯基几何学则适用于从微观世界到无穷宇宙的大范围内，它包括了欧几里得几何学。比如，在欧几里得几何学里，认为平行角是直角，而在罗巴切夫斯基几何学里，平行角不一定是直角，它与直角之间有一个偏差，并且这个偏差与点到直线的距离有关，通常情况下这个偏差小得可以忽略不计，这时它得到的结论与欧几里得几何是一致的，只有当距离非常大时，它才会产生不能忽视的偏离，这种非常大的距离往往超越了人们所能想像到的情况，比如，在宇宙的大范围内。由于运用欧几里得几何学比运用罗巴切夫斯基几何学更为简单，所以欧几里得几何学对于人们平时的实用目的尚能保持自己的意义，但是如果为了研究宇宙空间或者微观世界现象的测量问题，那么欧几里得几何学便不再适用，而必须使用罗巴切夫斯基几何学，这样，罗巴切夫斯基几何学就显得是更普遍的几何学，是对欧几里得几何学的完善和发展。

　　“经典”的挑战者

　　罗巴切夫斯基提出与欧几里得平行公设相对立的平行公设，由此在数学上做出了重大贡献，这与他在科学中坚持真理、敢于向“经典”挑战的精神是分不开的。其实，在罗巴切夫斯基发现平行公设的：不可证明性和非欧几里得几何原理的同时，匈牙利的鲍耶和德国的高斯也发现了这一点，可是由于种种原因，前者中途退缩，后者望而匪却步，他们都没有将创建非欧几里得几何学的事业进行到底。惟有隧勇敢的罗巴切夫斯基，凭借对真理的执著精神，冲破传统观念的束缚，公开宣布了这一新的学术思想，这使早已接受了欧几里得几何的人们目瞪口呆，无法理解。

　　任何一个新思想的提出、成长，都不是一帆风顺的，它总是要遭受来自于那些保守势力的嘲笑、攻击，罗巴切夫斯基几何学也不例外。他提出自己的新思想后，经过3年时间的整理，在《喀山大学学报》上发表了《论几何学基础》一书，这一举措立即遭到了科学界保守势力的讥笑和攻击。他们群起而攻之，把这种几何说成是“笑话”，是“对有学问的数学家的讽刺”，是“荒唐透顶的伪科学”。学报送交圣彼得堡科学院后，也被审稿院士轻率地认为，罗巴切夫斯基的论文“不值得科学院去注意”。学者们的强烈指责，使罗巴切夫斯基在几何学中的新思想一时竟成了人们谈论的笑料。除此之外，参与对罗巴切夫斯基嘲笑、围攻的人遍及各阶层、各方面的人士，比如，著名德国诗人歌德就曾在他的《浮士德》中写道：“有几何兮，名为非欧，自己嘲笑，莫名其妙。”

　　面对来自四面八方的狂风暴雨，罗巴切夫斯基无所畏惧，丝毫没有向舆论屈服，他始终坚信自己的几何学创新思想的正确性和革命性。1842年，罗巴切夫斯基由高斯引荐为哥廷根大学科学协会会员，这使他多少得到了一点安慰，因为高斯这位数学界的泰斗对他的工作给予了理解和支持。

　　真理是需要时间考验的，罗巴切夫斯基的学术思想在他生前一直没有引起学术界的重视，他一辈子生活在被嘲弄的嘘声中，几乎没有得到过人们对他的赞誉。时代在不断前进，科学在不断发展，20世纪初，相对论诞生了，人们的时空观也随之大变，对此，欧几里得几何表现得束手无策，非欧几何学马上显示出优势来了，成了天体测量和描述广义相对论的有力工具，在宇宙大范围的测量中得到了广泛的应用。至此，人们才深切地感到罗巴切夫斯基创新精神和坚持真理的伟大，是他把几何学推向了一个新的时代，也正是罗巴切夫斯基的这种战斗精神，给他带来了“几何学中的哥白尼”的美誉。