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图32 测圆
李冶用天元术推导这个四次方程的方法是:
草曰:立天元一为半城径,副置之。上加南行步得为股,下位加东行步得为勾。勾股相乘得为直积一段,以天元除之得为弦。以自之,得为弦幂,寄左。乃以勾自之,得,又以股自之,得,二位相并得,为同数。 与左相消,得。开益积三乘方,得一百二十步,即半城径也。
这段文字用现代符号翻译出来就是:设x为圆城半径OC。x+k为股OA,x+l为勾OB。由于AB·OC=OA·OB,即AB·x=(x+k)(x+l),故弦,又,两者相减,两端乘以x2,即得上述开方式。中国传统文化
由此可见,在李冶时代已完全掌握了天元多项式的加、减、乘法及除数为天元单项式的除法,掌握了指数的乘除法运算及合并同类项等运算。由于天元式的表示采取位置值制,故乘除数为天元幂的乘除法,只要上下移动“元”字或“太”字即可。