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中国古代数学 中国古代科学 中国古代文化

中国古代数学

作者:郭书春

第五节 正负开方术


  祖冲之求解负系数方程的资料已佚。现存史料中,第一次突破方程系数为正的限制的是北宋12世纪数学家刘益。据杨辉《田亩比类乘除捷法》所引,刘益《议古根源》中提出了形如特殊文字特殊文字特殊文字的方程,可见他还突破了首项系数是1的限制。刘益为解决这些负系数方程,提出了益积开方术和减从开方术。杨辉说刘益的方法“实冠前古”。这两种方法尚不是增乘方法,后者与增乘开方法比较接近。

  秦九韶提出正负开方术,把以增乘开方法为主体的高次方程数值解法发展到十分完备的程度。他的方程有的高达10次,方程系数在有理数范围内没有限制。他规定实常为负,这实际上是求解如下方程的正根:特殊文字

  秦氏正负开方术的完整表述在《数书九章》田域类“尖田求积”问中:已知两尖田合成的一段田地,大斜39步,小斜25步,中广30步,求其面积(如图31)。此题归结为开玲珑三乘方①:特殊文字

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图31 尖田

  其开方过程是:

  (1)列出方式,开玲珑三乘方。

特殊文字

  (2)上廉超一位,益隅超三位,商数进一位。上廉再超一位,益隅再超三位,商数再进一位,上商八百为定。

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  (3)以商生隅,入益下廉,以商生下廉消从上廉,以商生上廉,入方,以商生方,得正积,乃与实相消。以负实消正积,其积乃有余,为正实,谓之“换骨”。

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  (4)一变,以商生隅,入下廉。以商生下廉,入上廉内,相消。以正负上廉相消。以商生上廉,入方内,相消。以正负方相消。

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  (5)二变:以商生隅,入下廉;以商生下廉,入上廉。

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  (6)三变:以商生隅,入下廉。

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  (7)四变:方一退,上廉二退,下廉三退,隅四退;商续置。

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  (8)以方约实,续商置四十,生隅入下廉内。以商生下廉,入上廉内。以商生上廉,入方内。以续商四十命方法,除实,适尽。所得商数八百四十步为田积。

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秦九韶指出“后篇效此”,表明这是一种普遍方法。这个开方中,出现常数项由负变正的情况,秦九韶称为“换骨”。开方过程中,还会出现常数项绝对值增大的情形,秦氏称为“投胎”。秦氏提出这些情形,目的在于指示人们遇到反常情形不要裹足不前,而是要继续下去。

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  正负开方术是13世纪宋元数学家的共识。南宋的杨辉,金元的李冶、朱世杰对此都有贡献。李冶、朱世杰不再规定实常为负,而是可正可负,并对常数项变号或绝对值增大的情况也提出了处理意见。数学家们还提出了之分法。如《益古演段》第40题需求特殊文字的正根,就原式开方,开不出准确根,李冶便以22.5乘常数项23002,得517545,一次项系数不变,二次项系数变为-1,再开方,即求特殊文字的正根。这实际上是作变换y=22.5x,求出y=465,因此,特殊文字。朱世杰把这种方法推广到高次方。《四元玉鉴》的“和分索隐”门第13问的开方式是特殊文字。他开得正根的整数部分8之后,尚有余式特殊文字

  便以5763乘常数项,5762乘一次项系数,576乘二次项系数,三次项系数不变,以1为首项系数,开方式化成特殊文字

  这实际上进行变换特殊文字,开方得y=384,因此特殊文字特殊文字。之分法又称作连枝同体术,是非常巧妙的。

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    注释:

  ①若方程的奇次幂系数皆为零时,则称之为“开玲珑某乘方”。

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